1-The Real Number System

01. Supremum과 Upper bound의 차이점

1. Upper Bound(상계, 상한선)

어떤 집합 S가 실수 집합 R의 부분집합이라고 하자.

SS의 상계(upper bound) : SS의 모든 원소보다 크거나 같은 실수이다.

즉, 실수 M이 다음 조건을 만족하면 M을 SS의 상계라고 한다.

∀x∈S,x≤M

즉, SS의 모든 원소가 MM보다 작거나 같으면 MM은 SS의 상계이다.

• 예제: S={1,2,3}인 경우, M=3,4,5,… 등은 모두 상계이다.M=3,4,5,…
• S={1,2,3}
• 상계는 유일하지 않으며, 여러 개 존재할 수 있다.

1. Supremum (= least upper bound)즉, S가 upper bound를 가진다면 S의 sup S는 다음 조건을 만족한다.
   1. sup S는 S의 upper bound이다
   2. sup S보다 작은 수는 S의 upper bound가 아니다. ⇒ sup S 는 유일한 하나의 값을 가진다!
2. S의 모든 상계 중에서 가장 작은 값을 S의 supremum이라고 한다.

💡정리💡

upper bound : 집합 S의 원소보다 크거나 같은 모든 수. (여러개 가능)

supremum : S의 upper bound 중 가장 작은 값. (오로지 한개)

 

02. Archimedean Principle

아무리 큰 실수라도 충분히 큰 자연수를 선택하면 이를 초과할 수 있다. ⇒ 자연수가 무한히 커질 수 있으며, 어떤 실수보다도 큰 자연수가 존재한다는 것을 나타냄

03. Density of rationals

임의의 두 실수 사이에는 항상 유리수가 존재한다. a < q < b ⇒ 유리수는 실수 직선에서 빈틈없이 퍼져있음.

∀a,b∈R, a<b⇒∃q∈Q such that a<q<b.

04. Lower bound & infimum

1. Lower Bound : E의 모든 원소보다 작거나 같은 실수
2. Infimum : E가 lower bound를 가진다면 그 lower bound 중 가장 큰 수E={2,3,4,5}일 때,
   • 하한: 1,0,−5,−100 등 무수히 많음
   • 1,0,−5,−100
   • 최하한: inf⁡E=2infE=2

05. E has a supremum <=> -E has an infimum

inf(−E)=−supE.

supE=−inf(−E).

06. B has a supremum ⇒ supA ≤ supB

B has an infimum ⇒ inf A ≤ inf B

Definition.

(i) R := R ⇔ {±↖} : extended real numbers.

07. upper bound와 lower bound의 확장정의

E 가 upper bound가 아니면, supE = +∞

E 가 lower bound가 아니면, infE = -∞

08. sup∅=−∞,inf∅=+∞